अंकगणित क्या करता है? "अंकगणित" शब्द का अर्थ

अंकगणित गणित का सबसे बुनियादी, बुनियादी खंड है। इसकी उत्पत्ति लोगों की गिनती की जरूरतों से हुई।

मानसिक अंकगणित

मानसिक अंकगणित किसे कहते हैं? मानसिक अंकगणित त्वरित गिनती सिखाने की एक विधि है जो प्राचीन काल से चली आ रही है।

वर्तमान में, पिछले वाले के विपरीत, शिक्षक न केवल बच्चों को गिनती सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, बल्कि उनकी सोच विकसित करने की भी कोशिश कर रहे हैं।

सीखने की प्रक्रिया स्वयं मस्तिष्क के दोनों गोलार्धों के उपयोग और विकास पर आधारित है। मुख्य बात यह है कि उन्हें एक साथ उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए, क्योंकि वे एक दूसरे के पूरक हैं।

दरअसल, बायां गोलार्ध तर्क, भाषण और तर्कसंगतता के लिए जिम्मेदार है, और दायां गोलार्ध कल्पना के लिए जिम्मेदार है।

प्रशिक्षण कार्यक्रम में उपकरणों के संचालन और उपयोग का प्रशिक्षण शामिल है अबेकस.

मानसिक अंकगणित सीखने में अबेकस मुख्य उपकरण है, क्योंकि छात्र उनके साथ काम करना, डोमिनोज़ को चलाना और गणना के सार को समझना सीखते हैं। समय के साथ, अबेकस आपकी कल्पना बन जाता है, और छात्र उनकी कल्पना करते हैं, इस ज्ञान का निर्माण करते हैं और उदाहरणों को हल करते हैं।

इन शिक्षण विधियों के बारे में समीक्षाएँ बहुत सकारात्मक हैं। एक कमी है - प्रशिक्षण का भुगतान किया जाता है, और हर कोई इसे वहन नहीं कर सकता। इसलिए, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति का मार्ग उसकी वित्तीय स्थिति पर निर्भर करता है।

गणित और अंकगणित

गणित और अंकगणित निकट से संबंधित अवधारणाएँ हैं, या यूं कहें कि अंकगणित गणित की एक शाखा है जो संख्याओं और गणनाओं (संख्याओं के साथ संचालन) के साथ काम करती है।

अंकगणित मुख्य अनुभाग है, और इसलिए गणित का आधार है। गणित का आधार सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ और संक्रियाएँ हैं जो वह आधार बनाती हैं जिस पर बाद का सारा ज्ञान निर्मित होता है। मुख्य परिचालनों में शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

अंकगणित का अध्ययन आमतौर पर स्कूल में शिक्षा की शुरुआत से ही किया जाता है। पहली कक्षा से. बच्चे बुनियादी गणित में महारत हासिल करते हैं।

जोड़नाएक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसके दौरान दो संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, और उनका परिणाम एक नया होता है - तीसरा।

ए+बी=सी.

घटावएक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसमें दूसरे नंबर को पहले नंबर से घटा दिया जाता है, और परिणाम तीसरा होता है।

जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ए - बी = सी.

गुणाएक क्रिया है जिसका परिणाम समान पदों के योग से होता है।

इस क्रिया का सूत्र है: a1+a2+…+an=n*a.

विभाजन- यह किसी संख्या या चर का समान भागों में विभाजन है।

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अंकगणित पढ़ाना

अंकगणित स्कूल की दीवारों के भीतर पढ़ाया जाता है। पहली कक्षा से, बच्चे गणित के मूल और मुख्य भाग - अंकगणित का अध्ययन करना शुरू करते हैं।

संख्याएँ जोड़ना

अंकगणित ग्रेड 5

पाँचवीं कक्षा में, छात्र भिन्न और मिश्रित संख्या जैसे विषयों का अध्ययन करना शुरू करते हैं। आप प्रासंगिक परिचालनों पर हमारे लेखों में इन नंबरों के साथ संचालन के बारे में जानकारी पा सकते हैं।

एक भिन्नात्मक संख्यादो संख्याओं का एक दूसरे से या अंश का हर से अनुपात है। भिन्नात्मक संख्या को विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ¼ = 1:4.

मिश्रित संख्या- यह एक भिन्नात्मक संख्या है, केवल पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया गया है। पूर्णांक भाग आवंटित किया जाता है बशर्ते कि अंश हर से बड़ा हो। उदाहरण के लिए, एक अंश था: 5/4, इसे पूरे भाग को हाइलाइट करके रूपांतरित किया जा सकता है: 1 पूर्णांक और ¼।

प्रशिक्षण के उदाहरण:

कार्य क्रमांक 1:

कार्य क्रमांक 2:

अंकगणित छठी कक्षा

छठी कक्षा में भिन्नों को लोअरकेस नोटेशन में बदलने का विषय आता है। इसका मतलब क्या है? उदाहरण के लिए, अंश ½ दिया गया है, यह 0.5 के बराबर होगा। ¼ = 0.25.

उदाहरणों को निम्नलिखित शैली में संकलित किया जा सकता है: 0.25+0.73+12/31.

प्रशिक्षण के उदाहरण:

कार्य क्रमांक 1:

कार्य क्रमांक 2:

मानसिक अंकगणित और गिनती की गति विकसित करने के लिए खेल

ऐसे बेहतरीन गेम हैं जो संख्यात्मकता को बढ़ावा देते हैं, गणित कौशल और गणितीय सोच, मानसिक गिनती और गिनती की गति विकसित करने में मदद करते हैं! आप खेल सकते हैं और विकास कर सकते हैं! क्या आपकी इसमें रूची है? खेलों के बारे में छोटे लेख पढ़ें और स्वयं प्रयास करना सुनिश्चित करें।

खेल "त्वरित गणना"

"क्विक काउंट" गेम आपकी मानसिक गिनती को तेज़ करने में मदद करेगा। खेल का सार यह है कि आपके सामने प्रस्तुत चित्र में, आपको "क्या 5 समान फल हैं?" प्रश्न का उत्तर हां या ना में चुनना होगा। अपने लक्ष्य का पालन करें और यह गेम इसमें आपकी सहायता करेगा।

खेल "गणितीय तुलना"

गणित तुलना गेम में आपको घड़ी के विरुद्ध दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है। यानी आपको जितनी जल्दी हो सके दो नंबरों में से एक को चुनना होगा। याद रखें कि समय सीमित है, और जितना अधिक आप सही उत्तर देंगे, आपके गणित कौशल उतने ही बेहतर विकसित होंगे! क्या हम प्रयास करें?

खेल "त्वरित जोड़"

गेम "क्विक एडिशन" एक उत्कृष्ट त्वरित गिनती सिम्युलेटर है। खेल का सार: एक 4x4 फ़ील्ड दिया गया है, अर्थात। इसमें 16 संख्याएँ हैं, और फ़ील्ड के ऊपर सत्रहवीं संख्या है। आपका लक्ष्य: सोलह संख्याओं का उपयोग करके, जोड़ संक्रिया का उपयोग करके 17 बनाना। उदाहरण के लिए, फ़ील्ड के ऊपर आपके पास संख्या 28 लिखी है, तो फ़ील्ड में आपको 2 ऐसे नंबर ढूंढने होंगे जो कुल मिलाकर 28 नंबर देंगे। क्या आप अपना हाथ आज़माने के लिए तैयार हैं? तो फिर आगे बढ़ें और प्रशिक्षण लें!

अभूतपूर्व मानसिक अंकगणित का विकास

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5-10 वर्ष के बच्चे में स्मृति और ध्यान का विकास

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अंकगणित

अंकगणित और।
1.

गणित की एक शाखा जो संख्याओं के सरलतम गुणों, उन्हें लिखने के तरीकों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करती है।

2.

एक शैक्षणिक विषय जिसमें गणित के इस खंड की मूल बातें शामिल हैं।

3. सड़न

किसी दिए गए शैक्षणिक विषय की सामग्री निर्धारित करने वाली पाठ्यपुस्तक।

एफ़्रेमोवा द्वारा व्याख्यात्मक शब्दकोश. टी. एफ. एफ़्रेमोवा। 2000.

समानार्थी शब्द:

देखें अन्य शब्दकोशों में "अंकगणित" क्या है:

- (ग्रीक अरिथमोस संख्या और टोचे कला से)। एक विज्ञान जो संख्याओं से संबंधित है। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. ग्रीक से अंकगणित। अंकगणित, संख्या, और तकनीक, कला। संख्याओं का विज्ञान... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

महिला, ग्रीक गिनती का सिद्धांत, अंकन का विज्ञान; सभी गणित का आधार (मात्राओं का विज्ञान, मापने योग्य का विज्ञान); पुराना गिनती या संख्यात्मक ज्ञान; गिनती, गणना, संख्यात्मक गणना, गणना। अंकगणित, अंकगणित, इससे संबंधित। अंकगणितज्ञ... ... डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

डिजिटल व्यवसाय, डिजिटल विज्ञान, डिजिटल, रूसी पर्यायवाची शब्दों की गिनती। अंकगणित tsifir (अप्रचलित) रूसी भाषा के पर्यायवाची शब्द का शब्दकोश। व्यावहारिक मार्गदर्शिका. एम.: रूसी भाषा. जेड ई अलेक्जेंड्रोवा। 2011… पर्यायवाची शब्दकोष

- (ग्रीक शब्द ariJmoV संख्या और tecnh कला से) गणित का हिस्सा जो कुछ विशिष्ट मात्राओं के गुणों के अध्ययन से संबंधित है; निकट अर्थ में, अंकगणित संख्याओं में व्यक्त संख्याओं का विज्ञान है, और संख्याओं पर संक्रियाओं से संबंधित है। क्या मैं… … ब्रॉकहॉस और एफ्रॉन का विश्वकोश

आधुनिक विश्वकोश

- (ग्रीक अरिथमोस संख्या से) गणित का हिस्सा; संख्याओं, मुख्य रूप से प्राकृतिक (धनात्मक पूर्णांक) और भिन्नों के सरलतम गुणों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करता है। अंकगणित के विकास के कारण बीजगणित और संख्या सिद्धांत इससे अलग हो गए... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

अंकगणित, जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके गणना करने की एक विधि। इन ऑपरेशनों के लिए औपचारिक स्वयंसिद्ध आधार 19वीं शताब्दी के अंत में ग्यूसेप पीनो द्वारा प्रदान किया गया था। उदाहरण के लिए, कुछ अभिधारणाओं के आधार पर, कि केवल एक ही है... ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

अंकगणित, अंकगणित, अनेक। नहीं, महिला (ग्रीक अंकगणित)। अंकों द्वारा व्यक्त संख्याओं और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन। उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उषाकोव। 1935 1940… उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अंकगणित, और, स्त्री. 1. गणित की एक शाखा जो अंकों और उन पर संक्रियाओं द्वारा व्यक्त संख्याओं के सरलतम गुणों का अध्ययन करती है। 2. स्थानांतरण गिनती के समान (2 अंकों में) (बोलचाल की भाषा में)। हमने खर्चों की जांच की और यह निराशाजनक निकला। | adj. अंकगणित, आह,... ... ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अंकगणित- - [ए.एस. गोल्डबर्ग। अंग्रेजी-रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] सामान्य EN अंकगणित में ऊर्जा के विषय ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

अंकगणित- (ग्रीक अरिथमोस संख्या से), गणित का वह भाग जो पूर्णांकों और भिन्नों के सरलतम गुणों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करता है। यह प्राचीन काल में गिनती, दूरियां मापने, समय आदि की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुआ था। सुधार... ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• अंकगणित, किसेलेव एंड्री पेट्रोविच। 2017 ए.पी. किसलीव के जन्म की 165वीं वर्षगांठ है। अंकगणित पर उनकी पहली स्कूल पाठ्यपुस्तक 1884 में प्रकाशित हुई थी। 1938 में, इसे 5-6 के लिए अंकगणित पाठ्यपुस्तक के रूप में अनुमोदित किया गया था...

अंकगणित क्या है? मानवता ने संख्याओं का उपयोग और उनके साथ काम करना कब शुरू किया? संख्याएँ, जोड़ और गुणा जैसी रोजमर्रा की अवधारणाओं की जड़ें कहाँ जाती हैं, जिन्हें मनुष्य ने अपने जीवन और विश्वदृष्टि का एक अविभाज्य हिस्सा बना लिया है? प्राचीन यूनानी मस्तिष्क मानव तर्क की सबसे सुंदर सिम्फनी के रूप में ज्यामिति जैसे विज्ञान की प्रशंसा करते थे।

शायद अंकगणित अन्य विज्ञानों जितना गहरा नहीं है, लेकिन यदि कोई व्यक्ति प्रारंभिक गुणन सारणी भूल जाए तो उसका क्या होगा? संख्याओं, भिन्नों और अन्य उपकरणों का उपयोग करके हम जिस तार्किक सोच के आदी हैं, वह लोगों के लिए आसान नहीं थी और लंबे समय तक हमारे पूर्वजों के लिए दुर्गम थी। वस्तुतः अंकगणित के विकास तक मानव ज्ञान का कोई भी क्षेत्र वास्तव में वैज्ञानिक नहीं था।

अंकगणित गणित की एबीसी है

अंकगणित संख्याओं का विज्ञान है, जिससे कोई भी व्यक्ति गणित की आकर्षक दुनिया से परिचित होना शुरू कर देता है। जैसा कि एम.वी. लोमोनोसोव ने कहा, अंकगणित सीखने का द्वार है, जो हमारे लिए विश्व ज्ञान का मार्ग खोलता है। लेकिन वह सही हैं, क्या दुनिया के ज्ञान को संख्याओं और अक्षरों, गणित और भाषण के ज्ञान से अलग किया जा सकता है? शायद पुराने दिनों में, लेकिन आधुनिक दुनिया में नहीं, जहां विज्ञान और प्रौद्योगिकी का तेजी से विकास अपने स्वयं के कानूनों को निर्धारित करता है।

शब्द "अंकगणित" (ग्रीक "अरिथमोस") ग्रीक मूल का है और इसका अर्थ "संख्या" है। वह संख्या और उन सभी चीज़ों का अध्ययन करती है जो उनसे जुड़ी हो सकती हैं। यह संख्याओं की दुनिया है: संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ, संख्यात्मक नियम, गुणा, घटाव आदि से संबंधित समस्याओं को हल करना।

अंकगणित की मूल वस्तु

अंकगणित का आधार एक पूर्णांक है, जिसके गुणों और पैटर्न को उच्च अंकगणित में माना जाता है या वास्तव में, पूरे भवन की ताकत - गणित - इस बात पर निर्भर करती है कि इतने छोटे ब्लॉक को प्राकृतिक संख्या मानने में दृष्टिकोण कितना सही है .

इसलिए, अंकगणित क्या है, इस प्रश्न का उत्तर सरलता से दिया जा सकता है: यह संख्याओं का विज्ञान है। हाँ, सामान्य सात, नौ और इस सभी विविध समुदाय के बारे में। और जिस प्रकार आप प्रारंभिक वर्णमाला के बिना अच्छी या यहां तक ​​कि सबसे औसत दर्जे की कविता भी नहीं लिख सकते, उसी प्रकार अंकगणित के बिना आप एक प्राथमिक समस्या भी हल नहीं कर सकते। यही कारण है कि सभी विज्ञान अंकगणित और गणित के विकास के बाद ही आगे बढ़े, जो पहले केवल मान्यताओं का एक समूह थे।

अंकगणित एक प्रेत विज्ञान है

अंकगणित क्या है - प्राकृतिक विज्ञान या प्रेत? वास्तव में, जैसा कि प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने तर्क दिया था, न तो संख्याएँ और न ही आंकड़े वास्तविकता में मौजूद हैं। यह महज़ एक प्रेत है जो पर्यावरण और उसकी प्रक्रियाओं पर विचार करते समय मानव सोच में पैदा होता है। दरअसल, आसपास कहीं भी हमें ऐसी कोई चीज़ नहीं दिखती जिसे संख्या कहा जा सके, बल्कि संख्या दुनिया का अध्ययन करने का मानव मस्तिष्क का एक तरीका है। या शायद यह अंदर से हमारा अध्ययन है? दार्शनिक लगातार कई शताब्दियों से इस बारे में बहस कर रहे हैं, इसलिए हम विस्तृत उत्तर देने का कार्य नहीं करते हैं। किसी न किसी रूप में, अंकगणित ने अपनी स्थिति इतनी मजबूती से बना ली है कि आधुनिक दुनिया में इसके मूल सिद्धांतों के ज्ञान के बिना किसी को भी सामाजिक रूप से अनुकूलित नहीं माना जा सकता है।

प्राकृतिक संख्या कैसे प्रकट हुई?

बेशक, मुख्य वस्तु जिस पर अंकगणित संचालित होता है वह एक प्राकृतिक संख्या है, जैसे 1, 2, 3, 4, ..., 152... आदि। प्राकृतिक संख्या अंकगणित सामान्य वस्तुओं, जैसे घास के मैदान में गायों की गिनती का परिणाम है। फिर भी, "बहुत" या "थोड़ा" की परिभाषा एक बार लोगों के लिए उपयुक्त नहीं रही, और अधिक उन्नत गिनती तकनीकों का आविष्कार करना पड़ा।

लेकिन असली सफलता तब हुई जब मानव विचार इस बिंदु पर पहुंचा कि एक ही संख्या "दो" का उपयोग 2 किलोग्राम, 2 ईंटें और 2 भागों को नामित करने के लिए किया जा सकता है। मुद्दा यह है कि आपको वस्तुओं के रूपों, गुणों और अर्थों से अमूर्त होने की आवश्यकता है, फिर आप प्राकृतिक संख्याओं के रूप में इन वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर सकते हैं। इस प्रकार संख्याओं के अंकगणित का जन्म हुआ, जो आगे चलकर विकसित और विस्तारित हुआ और समाज के जीवन में बड़े पदों पर आसीन हुआ।

शून्य और ऋणात्मक संख्याओं, भिन्नों, संख्याओं द्वारा संख्याओं के अंकन और अन्य तरीकों जैसी संख्या की गहन अवधारणाओं के विकास का एक समृद्ध और दिलचस्प इतिहास है।

अंकगणित और व्यावहारिक मिस्रवासी

आसपास की दुनिया की खोज और रोजमर्रा की समस्याओं को सुलझाने में मनुष्य के दो सबसे प्राचीन साथी अंकगणित और ज्यामिति हैं।

ऐसा माना जाता है कि अंकगणित का इतिहास प्राचीन पूर्व में उत्पन्न हुआ: भारत, मिस्र, बेबीलोन और चीन में। इस प्रकार, रिंडा पपीरस मिस्र मूल का है (ऐसा नाम इसलिए दिया गया क्योंकि यह उसी नाम के मालिक का था), जो 20वीं शताब्दी का है। बीसी, अन्य मूल्यवान डेटा के अलावा, एक अंश को अलग-अलग हर और एक के बराबर अंश वाले अंशों के योग में विघटित करता है।

उदाहरण के लिए: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

लेकिन ऐसे जटिल अपघटन का मतलब क्या है? तथ्य यह है कि मिस्र का दृष्टिकोण संख्याओं के बारे में अमूर्त सोच को बर्दाश्त नहीं करता था, इसके विपरीत, गणना केवल व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए की जाती थी; अर्थात्, उदाहरण के लिए, एक मिस्रवासी केवल कब्र बनाने के लिए गणना जैसी चीज़ में संलग्न होगा। संरचना के किनारे की लंबाई की गणना करना आवश्यक था, और इसने एक व्यक्ति को पपीरस पर बैठने के लिए मजबूर किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना में मिस्र की प्रगति विज्ञान के प्रति प्रेम की तुलना में बड़े पैमाने पर निर्माण के कारण अधिक हुई।

इस कारण से, पपीरी पर पाई गई गणनाओं को भिन्नों के विषय पर प्रतिबिंब नहीं कहा जा सकता है। सबसे अधिक संभावना है, यह एक व्यावहारिक तैयारी थी जिसने भविष्य में भिन्नों से जुड़ी समस्याओं को हल करने में मदद की। प्राचीन मिस्रवासी, जो गुणन सारणी नहीं जानते थे, लंबी गणनाएँ करते थे, जो कई उप-समस्याओं में विभाजित होती थीं। शायद यह उन उपकार्यों में से एक है. यह देखना आसान है कि ऐसे रिक्त स्थान के साथ गणना बहुत श्रम-केंद्रित होती है और इसकी संभावनाएँ बहुत कम होती हैं। शायद इसी कारण से हमें गणित के विकास में प्राचीन मिस्र का कोई खास योगदान नज़र नहीं आता।

प्राचीन ग्रीस और दार्शनिक अंकगणित

प्राचीन पूर्व के अधिकांश ज्ञान को प्राचीन यूनानियों, अमूर्त, अमूर्त और दार्शनिक विचारों के प्रसिद्ध प्रेमियों द्वारा सफलतापूर्वक महारत हासिल थी। अभ्यास में उनकी रुचि कम नहीं थी, लेकिन उनसे बेहतर सिद्धांतकार और विचारक ढूंढ़ना कठिन था। इससे विज्ञान को लाभ हुआ, क्योंकि वास्तविकता से तोड़े बिना अंकगणित में गहराई तक जाना असंभव है। बेशक, आप 10 गायों और 100 लीटर दूध को बढ़ा सकते हैं, लेकिन आप बहुत दूर तक नहीं पहुंच पाएंगे।

गहरी सोच वाले यूनानियों ने इतिहास पर एक महत्वपूर्ण छाप छोड़ी, और उनके कार्य हम तक पहुँचे हैं:

• यूक्लिड और तत्व.
• पाइथागोरस.
• आर्किमिडीज़.
• एराटोस्थनीज.
• ज़ेनो.
• एनाक्सागोरस।

और, निस्संदेह, यूनानी, जिन्होंने हर चीज़ को दर्शन में बदल दिया, और विशेष रूप से पाइथागोरस के काम के उत्तराधिकारी, संख्याओं से इतने मोहित हो गए कि उन्होंने उन्हें दुनिया की सद्भाव का संस्कार माना। संख्याओं का इतना अधिक अध्ययन और शोध किया गया है कि उनमें से कुछ और उनके जोड़ों को विशेष गुणों का श्रेय दिया गया है। उदाहरण के लिए:

• पूर्ण संख्याएँ वे होती हैं जो संख्या को छोड़कर उनके सभी विभाजकों के योग के बराबर होती हैं (6=1+2+3)।
• मित्रवत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जिनमें से एक दूसरे के सभी विभाजकों के योग के बराबर है, और इसके विपरीत (पाइथागोरियन केवल एक ऐसी जोड़ी जानते थे: 220 और 284)।

यूनानियों, जो मानते थे कि विज्ञान से प्यार किया जाना चाहिए और इसे लाभ के लिए नहीं अपनाया जाना चाहिए, उन्होंने खोज, खेल और संख्याएँ जोड़कर बड़ी सफलता हासिल की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनके सभी शोधों का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था; उनमें से कुछ को केवल "सुंदरता के लिए" छोड़ दिया गया था;

मध्य युग के पूर्वी विचारक

उसी प्रकार, मध्य युग में, अंकगणित का विकास पूर्वी समकालीनों के कारण हुआ। भारतीयों ने हमें संख्याएँ दीं जिनका हम सक्रिय रूप से उपयोग करते हैं, जैसे "शून्य" जैसी अवधारणा, और आधुनिक धारणा से परिचित एक स्थितिगत विकल्प। 15वीं सदी में समरकंद में काम करने वाले अल-काशी से हमें विरासत में मिली जिसके बिना आधुनिक अंकगणित की कल्पना करना मुश्किल है।

कई मायनों में, पूर्व की उपलब्धियों से यूरोप का परिचय इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो फिबोनाची के काम की बदौलत संभव हुआ, जिन्होंने पूर्वी नवाचारों का परिचय देते हुए "द बुक ऑफ अबेकस" नामक कृति लिखी। यह यूरोप में बीजगणित और अंकगणित, अनुसंधान और वैज्ञानिक गतिविधि के विकास की आधारशिला बन गया।

रूसी अंकगणित

और अंततः, अंकगणित, जिसने अपना स्थान पाया और यूरोप में जड़ें जमा लीं, रूसी भूमि में फैलने लगा। पहला रूसी अंकगणित 1703 में प्रकाशित हुआ था - यह लियोन्टी मैग्निट्स्की द्वारा अंकगणित के बारे में एक पुस्तक थी। लंबे समय तक यह गणित की एकमात्र पाठ्यपुस्तक बनी रही। इसमें बीजगणित और ज्यामिति के प्रारंभिक क्षण शामिल हैं। रूस में पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में प्रयुक्त संख्याएँ अरबी हैं। हालाँकि अरबी अंक पहले भी 17वीं शताब्दी की नक्काशी में पाए जाते थे।

पुस्तक को स्वयं आर्किमिडीज़ और पाइथागोरस की छवियों से सजाया गया है, और पहले पृष्ठ पर एक महिला के रूप में अंकगणित की छवि है। वह एक सिंहासन पर बैठती है, उसके नीचे हिब्रू में भगवान के नाम को दर्शाने वाला एक शब्द लिखा हुआ है, और सिंहासन की ओर जाने वाली सीढ़ियों पर "विभाजन", "गुणा", "जोड़" आदि शब्द खुदे हुए हैं। कल्पना कीजिए कि उन्होंने ऐसे सत्य क्या अर्थ बताए जो अब सामान्य माने जाते हैं।

600 पेज की पाठ्यपुस्तक में जोड़ और गुणन सारणी और नेविगेशनल विज्ञान के अनुप्रयोगों जैसी बुनियादी बातें शामिल हैं।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लेखक ने अपनी पुस्तक के लिए ग्रीक विचारकों की छवियों को चुना, क्योंकि वह स्वयं अंकगणित की सुंदरता से मोहित हो गए थे, उन्होंने कहा था: "अंकगणित एक अंश है, यह एक ईमानदार, ईर्ष्यालु कला है..." अंकगणित के लिए यह दृष्टिकोण काफी उचित है, क्योंकि यह इसका व्यापक कार्यान्वयन है जिसे रूस और सामान्य शिक्षा में वैज्ञानिक विचार के तेजी से विकास की शुरुआत माना जा सकता है।

गैर अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसमें केवल 2 धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। 1 को छोड़कर अन्य सभी संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, और अन्य सभी जिनमें संख्या 1 और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है।

जहाँ तक संख्या 1 का प्रश्न है, इसका एक विशेष स्थान है - इस बात पर सहमति है कि इसे न तो सरल और न ही समग्र माना जाना चाहिए। एक साधारण सा दिखने वाला नंबर अपने अंदर कई अनसुलझे रहस्य छुपाए हुए है।

यूक्लिड का प्रमेय कहता है कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है, और एराटोस्थनीज एक विशेष अंकगणितीय "छलनी" के साथ आए जो कठिन संख्याओं को छांट देती है, केवल अभाज्य संख्याओं को छोड़ देती है।

इसका सार यह है कि पहले बिना काटी गई संख्या को रेखांकित करें, और बाद में जो उसके गुणज हों उन्हें काट दें। हम इस प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं और अभाज्य संख्याओं की एक तालिका प्राप्त करते हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अभाज्य संख्याओं के बारे में टिप्पणियों में अंकगणित के मौलिक प्रमेय का विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए।

अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक या तो अभाज्य है या उसे अनूठे तरीके से गुणनखंडों के क्रम तक अभाज्यों के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है।

अंकगणित का मुख्य प्रमेय सिद्ध करने में काफी बोझिल है, और इसकी समझ अब सबसे सरल मूल बातों के समान नहीं है।

पहली नज़र में, अभाज्य संख्याएँ एक प्राथमिक अवधारणा हैं, लेकिन ऐसा नहीं है। भौतिकी ने भी एक समय परमाणु को तब तक प्राथमिक माना था जब तक कि उसने इसके अंदर एक संपूर्ण ब्रह्मांड नहीं ढूंढ लिया था। अभाज्य संख्याएँ गणितज्ञ डॉन त्सगीर की एक अद्भुत कहानी, "द फर्स्ट फिफ्टी मिलियन प्राइम नंबर्स" का विषय हैं।

"तीन सेब" से लेकर निगमनात्मक कानूनों तक

जिसे वास्तव में समस्त विज्ञान का सुदृढ़ आधार कहा जा सकता है वह है अंकगणित के नियम। बचपन में भी, हर किसी को अंकगणित का सामना करना पड़ता है, गुड़ियों के पैरों और भुजाओं की संख्या, घनों, सेबों की संख्या आदि का अध्ययन करना। इस तरह हम अंकगणित का अध्ययन करते हैं, जो बाद में और अधिक जटिल नियमों में विकसित होता है।

हमारा पूरा जीवन हमें अंकगणित के नियमों से परिचित कराता है, जो आम आदमी के लिए विज्ञान द्वारा प्रदान किए गए सभी नियमों में सबसे उपयोगी बन गए हैं। संख्याओं का अध्ययन "बेबी अंकगणित" है, जो बचपन में ही व्यक्ति को अंकों के रूप में संख्याओं की दुनिया से परिचित कराता है।

उच्च अंकगणित एक निगमनात्मक विज्ञान है जो अंकगणित के नियमों का अध्ययन करता है। उनमें से अधिकांश हमें ज्ञात हैं, हालाँकि हम उनके सटीक शब्दों को नहीं जानते होंगे।

जोड़ और गुणा का नियम

किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं a और b को योग a+b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक प्राकृतिक संख्या भी होगी। निम्नलिखित कानून जोड़ने पर लागू होते हैं:

• विनिमेय, जो कहता है कि पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है, या a+b= b+a।
• जोड़नेवाला, जो कहता है कि योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पदों को स्थानों में कैसे समूहीकृत किया गया है, या a+(b+c)= (a+ b)+ c.

अंकगणित के नियम, जैसे कि जोड़, सबसे प्राथमिक हैं, लेकिन इनका उपयोग सभी विज्ञानों द्वारा किया जाता है, रोजमर्रा की जिंदगी का तो जिक्र ही नहीं।

किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं a और b को गुणनफल a*b या a*b में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि एक प्राकृत संख्या भी है। जोड़ के संबंध में समान क्रमविनिमेय और साहचर्य कानून उत्पाद पर लागू होते हैं:

• ए*बी= बी* ए;
• ए*(बी*सी)= (ए* बी)* सी.

दिलचस्प बात यह है कि एक ऐसा कानून है जो जोड़ और गुणा को जोड़ता है, जिसे वितरणात्मक या वितरणात्मक कानून भी कहा जाता है:

ए(बी+सी)= एबी+एसी

यह नियम वास्तव में हमें कोष्ठकों को खोलकर उनके साथ काम करना सिखाता है, जिससे हम अधिक जटिल सूत्रों के साथ काम कर सकते हैं। ये बिल्कुल वही नियम हैं जो बीजगणित की विचित्र और कठिन दुनिया में हमारा मार्गदर्शन करेंगे।

अंकगणितीय क्रम का नियम

व्यवस्था के नियम का उपयोग मानव तर्क द्वारा प्रतिदिन घड़ियों की जाँच करने और बिल गिनने में किया जाता है। और, फिर भी, इसे विशिष्ट फॉर्मूलेशन के रूप में औपचारिक रूप देने की भी आवश्यकता है।

यदि हमारे पास दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं, तो निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:

• a, b के बराबर है, या a=b;
• a, b से कम है, या a< b;
• a, b से बड़ा है, या a > b.

तीन विकल्पों में से केवल एक ही निष्पक्ष हो सकता है। व्यवस्था को नियंत्रित करने वाला मौलिक कानून कहता है: यदि एक< b и b < c, то a< c.

गुणन और जोड़ की संक्रियाओं के क्रम से संबंधित कानून भी हैं: यदि एक< b, то a + c < b+c и ac< bc.

अंकगणित के नियम हमें संख्याओं, चिह्नों और कोष्ठकों के साथ काम करना सिखाते हैं, जिससे सब कुछ संख्याओं की सामंजस्यपूर्ण सिम्फनी में बदल जाता है।

स्थितिगत और गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियाँ

हम कह सकते हैं कि संख्याएँ एक गणितीय भाषा है, जिसकी सुविधा पर बहुत कुछ निर्भर करता है। ऐसी कई संख्या प्रणालियाँ हैं, जो विभिन्न भाषाओं के अक्षरों की तरह एक-दूसरे से भिन्न होती हैं।

आइए इस स्थिति में अंक के मात्रात्मक मूल्य पर स्थिति के प्रभाव के दृष्टिकोण से संख्या प्रणालियों पर विचार करें। इसलिए, उदाहरण के लिए, रोमन प्रणाली गैर-स्थितीय है, जहां प्रत्येक संख्या को विशेष वर्णों के एक निश्चित सेट के साथ एन्कोड किया गया है: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. वे क्रमशः संख्या 1 के बराबर हैं / 5/10/50/100/500/1000. ऐसी प्रणाली में, कोई संख्या अपनी मात्रात्मक परिभाषा को इस आधार पर नहीं बदलती है कि वह किस स्थिति में है: पहली, दूसरी, आदि। अन्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, आपको आधार संख्याओं को जोड़ना होगा। उदाहरण के लिए:

• डीसीसी=700.
• सीसीएम=800.

अरबी अंकों का उपयोग करने वाली संख्या प्रणाली जो हमारे लिए अधिक परिचित है वह स्थितीय है। ऐसी प्रणाली में, किसी संख्या का अंक अंकों की संख्या निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, तीन अंकों वाली संख्याएँ: 333, 567, आदि। किसी भी अंक का वजन उस स्थिति पर निर्भर करता है जिसमें एक विशेष अंक स्थित है, उदाहरण के लिए, दूसरी स्थिति में अंक 8 का मान 80 है। यह दशमलव प्रणाली के लिए विशिष्ट है, उदाहरण के लिए बाइनरी;

बाइनरी अंकगणित

बाइनरी अंकगणित बाइनरी वर्णमाला के साथ काम करता है, जिसमें केवल 0 और 1 होते हैं। और इस वर्णमाला के उपयोग को बाइनरी संख्या प्रणाली कहा जाता है।

द्विआधारी अंकगणित और दशमलव अंकगणित के बीच अंतर यह है कि बाईं ओर की स्थिति का महत्व 10 नहीं, बल्कि 2 गुना अधिक है। बाइनरी संख्याओं का रूप 111, 1001 आदि होता है। ऐसी संख्याओं को कैसे समझें? तो, आइए संख्या 1100 पर नजर डालें:

1. बाईं ओर पहला अंक 1*8=8 है, याद रखें कि चौथा अंक, जिसका अर्थ है कि इसे 2 से गुणा करना होगा, हमें स्थिति 8 मिलती है।
2. दूसरा अंक 1*4=4 (स्थिति 4) है।
3. तीसरा अंक 0*2=0 (स्थिति 2) है।
4. चौथा अंक 0*1=0 (स्थिति 1) है।
5. तो, हमारी संख्या 1100=8+4+0+0=12 है।

अर्थात्, बाईं ओर एक नए अंक पर जाने पर, बाइनरी प्रणाली में इसका महत्व 2 से गुणा हो जाता है, और दशमलव प्रणाली में 10 से गुणा हो जाता है। ऐसी प्रणाली में एक खामी है: यह अंकों में बहुत बड़ी वृद्धि है संख्याएँ लिखना आवश्यक है। दशमलव संख्याओं को बाइनरी संख्याओं के रूप में दर्शाने के उदाहरण निम्नलिखित तालिका में देखे जा सकते हैं।

बाइनरी रूप में दशमलव संख्याएँ नीचे दिखायी गयी हैं।

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल दोनों संख्या प्रणालियों का भी उपयोग किया जाता है।

यह रहस्यमय अंकगणित

अंकगणित क्या है, "दो बार" या संख्याओं के अज्ञात रहस्य? जैसा कि हम देखते हैं, अंकगणित पहली नज़र में सरल लग सकता है, लेकिन इसकी स्पष्ट सहजता भ्रामक है। बच्चे कार्टून "बेबी अरिथमेटिक" से आंटी आउल के साथ मिलकर इसका अध्ययन कर सकते हैं, या वे लगभग दार्शनिक क्रम के गहन वैज्ञानिक शोध में खुद को डुबो सकते हैं। इतिहास में, वह वस्तुओं को गिनने से लेकर संख्याओं की सुंदरता की पूजा करने तक गयीं। एक बात निश्चित है: अंकगणित के बुनियादी सिद्धांतों की स्थापना के साथ, सभी विज्ञान इसके मजबूत कंधे पर आराम कर सकते हैं।

अंकगणित गणित की वह शाखा है जिसके अध्ययन का विषय संख्याएँ, उनके गुण और संबंध हैं।

इसका नाम ग्रीक मूल का है: प्राचीन हेलस की भाषा में "शब्द" अतालता"(इसका उच्चारण इस प्रकार भी किया जाता है " अंकगणित") मतलब " संख्या».

अंकगणितगणना के नियमों और संख्याओं के सरलतम गुणों का अध्ययन करता है। संख्या सिद्धांत (या उच्च अंकगणित) नामक उस खंड में, व्यक्तिगत पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन किया जाता है।

अंकगणितसंख्या सिद्धांत, बीजगणित और ज्यामिति से सबसे अधिक निकटता से संबंधित है, और यह मुख्य गणितीय विज्ञानों में से एक है, साथ ही उनमें से सबसे प्राचीन भी है।

अंकगणित के मुख्य विषय संख्याओं, उनके गुणों, साथ ही संख्यात्मक सेटों पर संचालन हैं। इसके अलावा, अंकगणित संख्याओं, माप और गिनती तकनीकों की अवधारणा की उत्पत्ति और विकास जैसे मुद्दों का अध्ययन करता है।

संख्या संक्रियाएँ जो अंकगणित का विषय हैं, जोड़, घटाव, भाग और गुणा हैं। इनमें मूल निष्कर्षण, घातांकीकरण और विभिन्न संख्यात्मक समीकरणों को हल करने जैसे ऑपरेशन भी शामिल हैं।

इसके अलावा, ऐतिहासिक रूप से यह विकसित हुआ है कि अंकगणितीय संक्रियाओं में गुणा के अलावा, दोगुना करना भी शामिल है; विभाजन के अलावा, शेषफल के साथ और दो से विभाजन; जाँच करना; ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के योग की गणना करना। इसके अलावा, सभी अंकगणितीय संक्रियाओं का अपना पदानुक्रम होता है, जिसमें उच्चतम स्तर पर मूल और घातांक निकालना होता है, निचला स्तर गुणा और भाग होता है, और फिर जोड़ और घटाव होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे माप और गणितीय गणनाएँ जो व्यापक व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती हैं (उदाहरण के लिए, प्रतिशत, अनुपात, आदि) तथाकथित निम्न अंकगणित से संबंधित हैं, और संख्या की अवधारणा और इसका तार्किक विश्लेषण सैद्धांतिक अंकगणित से संबंधित हैं।

अंकगणितबीजगणित के साथ इसका बहुत घनिष्ठ संबंध है, जिसके अध्ययन का मुख्य विषय संख्याओं के साथ विभिन्न संक्रियाएँ हैं जो उनके गुणों और विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती हैं। साथ ही, मूल निकालना और घातांक निकालना बीजगणित का तकनीकी हिस्सा है।

क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अंकगणितइसका उपयोग लगभग हर जगह किया जाता है, तो निश्चित रूप से हर किसी को इस विज्ञान में कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। जीवन भर गिनती, आयतन, क्षेत्रफल, गति, समय अंतराल और लंबाई की गणना जैसे कार्य बहुत बार करने पड़ते हैं।

किसी भी पेशे में महारत हासिल करने के लिए, आपके पास बुनियादी अंकगणितीय ज्ञान होना चाहिए, और यह अर्थशास्त्र, प्रौद्योगिकी और प्राकृतिक विज्ञान से संबंधित उन विशिष्टताओं के लिए विशेष रूप से सच है।

• अंकगणित (प्राचीन यूनानी ἀριθμητική; ἀριθμός से - संख्या) गणित की एक शाखा है जो संख्याओं, उनके संबंधों और गुणों का अध्ययन करती है। अंकगणित का विषय इसके बारे में विचारों के विकास में संख्या की अवधारणा है (प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत, वास्तविक, जटिल संख्याएं) और इसके गुण। अंकगणित माप, कम्प्यूटेशनल संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और गणना तकनीकों से संबंधित है। उच्च अंकगणित, या संख्या सिद्धांत, व्यक्तिगत पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन है। सैद्धांतिक अंकगणित संख्या की अवधारणा की परिभाषा और विश्लेषण पर ध्यान देता है, जबकि औपचारिक अंकगणित विधेय और स्वयंसिद्धों के तार्किक निर्माण के साथ काम करता है। अंकगणित सबसे पुराना और बुनियादी गणितीय विज्ञानों में से एक है; इसका बीजगणित, ज्यामिति और संख्या सिद्धांत से गहरा संबंध है।

  अंकगणित के उद्भव का कारण कृषि के केंद्रीकरण के दौरान लेखांकन कार्यों से संबंधित गिनती और गणना की व्यावहारिक आवश्यकता थी। समाधान की आवश्यकता वाली समस्याओं की बढ़ती जटिलता के साथ-साथ विज्ञान का भी विकास हुआ है। अंकगणित के विकास में एक महान योगदान ग्रीक गणितज्ञों, विशेष रूप से पाइथागोरस दार्शनिकों द्वारा किया गया था, जिन्होंने संख्याओं की मदद से दुनिया के सभी कानूनों को समझने और उनका वर्णन करने का प्रयास किया था।

  मध्य युग में, नियोप्लाटोनिस्टों के अनुसार, अंकगणित को तथाकथित सात उदार कलाओं में वर्गीकृत किया गया था। तब अंकगणित के व्यावहारिक अनुप्रयोग के मुख्य क्षेत्र व्यापार, नेविगेशन और निर्माण थे। इस संबंध में, अपरिमेय संख्याओं की अनुमानित गणना, जो मुख्य रूप से ज्यामितीय निर्माणों के लिए आवश्यक है, को विशेष महत्व मिला है। अंकगणित विशेष रूप से भारत और इस्लामी देशों में तेजी से विकसित हुआ, जहां से गणितीय विचार की नवीनतम उपलब्धियां पश्चिमी यूरोप में प्रवेश कर गईं; रूस गणितीय ज्ञान से "ग्रीक और लैटिन दोनों से परिचित हुआ।"

  नए युग के आगमन के साथ, समुद्री खगोल विज्ञान, यांत्रिकी और तेजी से जटिल वाणिज्यिक गणनाओं ने कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी पर नई मांगें बढ़ा दीं और अंकगणित के आगे के विकास को गति दी। 17वीं शताब्दी की शुरुआत में, नेपियर ने लघुगणक का आविष्कार किया, और फिर फ़र्मेट ने संख्या सिद्धांत को अंकगणित की एक स्वतंत्र शाखा में अलग कर दिया। सदी के अंत तक, तर्कसंगत अनुमानों के अनुक्रम के रूप में एक अपरिमेय संख्या का विचार बनाया गया था, और अगली शताब्दी में, लैंबर्ट, यूलर और गॉस के कार्यों के लिए धन्यवाद, अंकगणित में जटिल मात्राओं के साथ संचालन शामिल था, प्राप्त करना इसका आधुनिक स्वरूप.

  अंकगणित के बाद के इतिहास को इसकी नींव के एक महत्वपूर्ण संशोधन और इसे निगमनात्मक रूप से प्रमाणित करने के प्रयासों द्वारा चिह्नित किया गया था। संख्या के विचार के लिए सैद्धांतिक औचित्य मुख्य रूप से एक प्राकृतिक संख्या की सख्त परिभाषा और 1889 में तैयार किए गए पीनो के सिद्धांतों से जुड़े हैं। अंकगणित के औपचारिक निर्माण की स्थिरता 1936 में जेंटज़ेन द्वारा दिखाई गई थी।

  प्राथमिक विद्यालय की शिक्षा में अंकगणित के बुनियादी सिद्धांतों पर लंबे समय से और हमेशा बहुत ध्यान दिया गया है।